In der letzten Aufgabe in Aufgabe 11 geht es um gleichmäßig und punktweise Kommergenzen.

Wir haben jetzt zwei verschiedene Funktionen folgen.

N von x ist nx durch 1 plus n² x² und gn von x ist x hoch 1 durch n.

Wir sollen jeweils beantworten was der punktweise Grenzwert der Folgen ist.

Wobei diese Funktionsfolge auf 1 unendlich definiert ist und diese Funktionsfolge hier auf 0,1.

Fangen wir mal an mit fn. Sei x aus 1 bis unendlich, weil das der Bereich auf dem wir uns befinden,

was ist dann der Grenzwert von fn von x für n unendlich.

Das ist der Grenzwert unendlich von nx durch 1 plus n² x².

x ist größer als 0, das heißt das hier ist auch wirklich eine positive Zahl.

Mal n hier genauso das geben wir endlich das geben wir endlich.

Das heißt wir müssen wie immer durch die gewisse Potenz dividieren und zählen mit dem Nenner.

Das heißt das 1 durch n mal x durch 1 durch n² plus x².

Hier sehen wir x ist eine feste Zahl zwischen 1 und unendlich, das heißt der Zähler geht gegen 0

und der Nenner geht gegen x². Das heißt der Grenzwert ist 0 und zwar für alle solche x.

Das heißt dass diese Funktionsfolge punktweise gegen die Nullfunktion kombiniert.

f von x ist identisch gleich 0 auf 1 bis unendlich.

Jetzt sei x aus dem Intervall 0 bis 1. Jetzt schauen wir uns gn an.

Was ist der Grenzwert von n gbmlich von gn von x, wobei x jetzt hier aus diesem Bereich gewählt wurde.

Das ist x hoch 1 durch n und jetzt müssen wir eine Falldurchschaltung machen.

Das ist jetzt entweder für x gleich 0.

Bei x gleich 0 steht hier 0 hoch 1 durch n. Das ist eine positive Zahl.

Das heißt das ist gleich 0 für x gleich 0.

Wenn x jetzt größer als 0 ist, also im Rest dieses Bereichs ist, was bislang dann?

Wir wissen, das haben wir gezeigt in aller der Aufgaben, wir haben es gezeigt in Aufgabe 3, dass das hier gegen 1 kombiniert.

Das bedeutet gn konvergiert punktweise gegen die Funktion g von x ist 0 bei x gleich 0 und 1 für x.

Also eine Funktion die so aussieht.

Hier ist die 0 und da ist die 1.

Jetzt die Frage, konvergieren diese Funktion folgend auch gleichmäßig?

Dann machen wir das einfachste zuerst. Die gn sind alle stetig.

Und aus der Vorlesung müssen wir gleichmäßig die Konvergenz erhält Stetigkeit.

Mit anderen Worten, falls gn gleichmäßig konvergieren würde,

dann müsste die Grenzwertfunktion auch stetig sein.

Jetzt schauen wir uns die Funktion an. Die ist nicht stetig, ist sie aber nicht.

Also konvergiert diese Folge nur punktweise.

Das war jetzt ein bisschen so indirekt, wir haben ausgenutzt, dass gewissen das Gleiche wie die Konvergenz immer eine stetige Grenzwertfunktion liefert, wenn die Folge selbst schon stetig war.

Wir waren genau in so einem Setting, wir haben stetige Funktionen, aber die Grenzwertfunktion ist nicht stetig, also kann die Konvergenz schon nicht gleichmäßig gewesen sein.

Jetzt schauen wir uns diese Funktionen an. Wir zeigen jetzt einfach, dass die Konvergenz gleichmäßig ist.

Gleichmäßig ist Konvergenz des Supremumabstandes. Wir müssen folgendes zeigen. Für alle epsilon große 0 existiert ein n von epsilon, sodass für alle k größer gleich n gilt, dass wir müssen gucken, gegen was konvergiert die Funktion.

Das heißt, dass das Supremum über alle möglichen x, das sind die von 1 bis endlich, von nx durch 1 plus n² x² minus die Grenzwertfunktion 0, dass das hier kleiner als epsilon ist.

Das ist also epsilon größer als 0. Jetzt müssen wir irgendwie es schaffen, so ein n von epsilon zu wählen, sodass egal welches k uns jemand gibt, mit der einzige Einschränkung, dass es größer als n ist, dann muss das hier kleiner als epsilon sein.

Das wissen wir jetzt noch nicht genau, wie man sich das n von epsilon wählt. Wir schauen uns erstmal das an, was am Schluss rauskommen soll. Wie immer machen wir unsere kleine Wolke dazu. Schauen wir uns doch mal diesen problematischen Term an.

Das ist minus 0 weg, weil es keine Reihe Informationen liefert, außer dass dieser Bruch immer positiv ist, also ich kann diese Betragsstriche auch weglassen. Wir schauen uns einfach an, was eigentlich kx durch 1 plus k² x² ist.

Und auch hier bildet sich das jetzt wieder an, dass wir durch x dividieren, oder durch x² besser gesagt. Das ist k durch x, 1 durch x² plus k².

Das Ziel muss jetzt sein, das jetzt irgendwie zu beschränken gegen etwas kleines.

Wie kriegen wir das jetzt hin? Also müssen wir jetzt hier schön abschätzen, weil wir im Zähler mit Kleiner abschätzen müssen und im Nenner gegen Größer abschätzen müssen. Irgendwie stört es uns hier immer noch etwas, weil dieses k ist noch ein bisschen problematisch.

Jetzt dividieren wir auch noch einmal durch k. Vielleicht kriegen wir das dann hin. Dann steht hier 1 durch x, 1 durch kx und hier steht einfach nur k.

Also wir haben hier quasi Zähler und Nenner durch x, oder durch x² geteilt. Hier haben wir Zähler und Nenner durch k geteilt und jetzt kriegen wir das jetzt irgendwie hin.

Wir wissen, x ist größer als 1, das heißt 1 durch x ist kleiner als 1. Also quasi Wolke in der Wolke. Das machen wir in Überlegung zur Überlegung.

Das heißt, das können wir schon mal nach oben gegen 1 abschätzen. Und der Zähler, was das Vordere macht, das sagen wir mal, ist uns jetzt einfach mal egal.

Auf jeden Fall größer als 0. Warum nicht? Das heißt, wir können diesen ganzen Bruch jetzt abschätzen. Kleiner als gegen 1 durch 0 plus k. Also gegen 1 durch k.